直方圖等化 (Histogram Equalization)
Posted on Wed 04 July 2018 in Digital Image Processing
影像的 histogram 指的是，在一張影像當中強度值統計分布，通常橫軸代表強度值，縱軸代表數量。histogram equalization，是一種利用影像的直方圖增強影像對比的方法，其概念如下圖 ( 來自維基百科 )。
希望影像的強度值分布變得比較均勻。
數學理論
假設一張灰階影像\({x}\)，且令\(n_i\)為強度值\(i\)的數量，則在影像中一個像素出現強度值\(i\)的機率為
$$p_x(i)=\frac{n_i}{n}, 0 \leq i < L,$$
其中\(L\)為強度值的總量 ( 對於一般的 8 bit 影像為 256)，\(n\)像素的總量，通常會將\(i\)的範圍 normalize 到\([0,1].\)
定義\(p_x\)對應的累積分布 (CDF) 為
$$cdf_x(i)=\sum_{j=0}^{i}p_x(j),$$
我們希望創造一個轉換函數\(k=T(i)\)，使新的影像\({p_y(k)}\)有均勻的值方圖分布，相當於線性化影像的 CDF，例如
$$cdf_y(k)=kC, \text{for some constant }C.$$
由 CDF 的性質，則我們可以寫出以下的轉換關係
$$cdf_y(k)=cdf_y(T(i))=cdf_x(i).$$
假設\(p_y(k)=C=\frac{1}{i_{min}-i_{max}}\)，則
$$T(i)=\frac{1}{C} \int_{i_{min}}^{i} p_x(i)di+\min(x) \text{ for } i_{min} \leq i \leq i_{max}.$$
局部直方圖等化 (Local Histogram Equalization)
一般的直方圖等化是對整張影像做，通常新的直方圖只會是大概線性的 CDF，因此後來有一種局部版本的直方圖等化，使 CDF 更加的線性。在 scikit-image 有實作此方法，範例如下：
%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage import data
from skimage.util.dtype import dtype_range
from skimage.util import img_as_ubyte
from skimage import exposure
from skimage.morphology import disk
from skimage.filters import rank
matplotlib.rcParams['font.size'] = 11
def plot_img_and_hist(image, axes, bins=256):
"""Plot an image along with its histogram and cumulative histogram.
"""
ax_img, ax_hist = axes
ax_cdf = ax_hist.twinx()
# Display image
ax_img.imshow(image, cmap=plt.cm.gray)
ax_img.set_axis_off()
# Display histogram
ax_hist.hist(image.ravel(), bins=bins)
ax_hist.ticklabel_format(axis='y', style='scientific', scilimits=(0, 0))
ax_hist.set_xlabel('Pixel intensity')
xmin, xmax = dtype_range[image.dtype.type]
ax_hist.set_xlim(xmin, xmax)
# Display cumulative distribution
img_cdf, bins = exposure.cumulative_distribution(image, bins)
ax_cdf.plot(bins, img_cdf, 'r')
return ax_img, ax_hist, ax_cdf
# Load an example image
img = img_as_ubyte(data.moon())
# Global equalize
img_rescale = exposure.equalize_hist(img)
# Equalization
selem = disk(30)
img_eq = rank.equalize(img, selem=selem)
# Display results
fig = plt.figure(figsize=(8, 5))
axes = np.zeros((2, 3), dtype=np.object)
axes[0, 0] = plt.subplot(2, 3, 1)
axes[0, 1] = plt.subplot(2, 3, 2, sharex=axes[0, 0], sharey=axes[0, 0])
axes[0, 2] = plt.subplot(2, 3, 3, sharex=axes[0, 0], sharey=axes[0, 0])
axes[1, 0] = plt.subplot(2, 3, 4)
axes[1, 1] = plt.subplot(2, 3, 5)
axes[1, 2] = plt.subplot(2, 3, 6)
ax_img, ax_hist, ax_cdf = plot_img_and_hist(img, axes[:, 0])
ax_img.set_title('Low contrast image')
ax_hist.set_ylabel('Number of pixels')
ax_img, ax_hist, ax_cdf = plot_img_and_hist(img_rescale, axes[:, 1])
ax_img.set_title('Global equalize')
ax_img, ax_hist, ax_cdf = plot_img_and_hist(img_eq, axes[:, 2])
ax_img.set_title('Local equalize')
ax_cdf.set_ylabel('Fraction of total intensity')
# prevent overlap of y-axis labels
fig.tight_layout()
plt.show()